Владимир.

Аксиоматика математики. Часть 2.

Начало здесь.

Эта лекция будет посвящена истории одной известной проблемы и ее решению с весьма неожиданными практическими последствиями (о которых вы можете додумать самостоятельно:)

При этом придется познакомиться с вполне научной теорией (ИМХО, очень полезной "для общего развития"), и, соответственно, рядом теорем. Сразу предупреждаю: они будут даны с "идеями доказательств", т.е. я постараюсь показать, почему они верны и как их можно доказать на уровне серьезных учебников. Но более или менее многочисленные технические детали и необходимые уточнения будут опущены (в одном случае они _намного_ длиннее самого приведенного эскиза доказательства). Прошу поверить на слово: таким путем все доказать можно, хотя ряд логических дыр надо закрывать аккуратно и тщательно, иначе проблем не оберешься. Поэтому же и определения будут даны на упрощенном, понятийном уровне.
Замечу, что подавляющее большинство курсов читаются намного более формально-аналитично, что решает проблемы с формальными доказательствами и ухудшает понимание предмета (в качестве примера вспомните аксиомы Пеано из прошлой лекции:)

Для начала рассмотрим теории мощности множеств.

Под множеством понимается просто набор чего-либо: чисел, огрызков яблок, ангелов на обломке стула - просто объектов. Одно множество (А) называется подмножеством другого (В), если можно отобрать часть элементов В так, чтобы из них получилось А. Например, множество {1, 3} - подмножество {0, 1, 3, 5}. Если А и В состоят из принципиально разных объектов (числа и огрызки яблок), то нужно говорить аккуратнее, вместо "отберем" - "поставим в соответствие", и множество А назовем "менее мощным" (меньшим) чем В. Например, множество ног у человека меньше множества звездочек на бутылке хорошего коньяка:) Если А меньше В и В меньше А, то А и В - равномощные множества (на сленге - равные). Кажущийся парадокс легко объясним: на самом деле речь идет о соотношении "не больше", а не "меньше", но второй вариант намного удобопроизносимее :)
Если речь идет о конечных множествах, все легко и просто: у кого больше элементов, тот и больше (формально, можно сравнить каждое из множеств с набором {1, 2, 3,...}) и затем сравнить между собой эти наборы. Все просто, зачем городить огород? Спокойствие, только спокойствие, сейчас будет хуже:)

Рассмотрим множество натуральных чисел, тот самый ряд {1, 2, 3,...} уходящий в бесконечность. Он, без сомнения, больше любого конечного множества. А как быть с другими бесконечными? Например, рядом четных чисел {2, 4, 6, ...}? Как ни странно, эти два множества равны! В самом деле, каждому натуральному числу N из множества А мы можем поставить в соответствие уникальное число 2 х N из множества В. Т.е. установим пары 1-2, 2-4, 3-6 и так далее. Таким образом, для нашего бесконечного множества половина равна целому:)
Для множеств, равномощных множеству натуральных чисел есть специальный термин: счетные множества, произошедший, естественно, от возможности эти множества пересчитать.

Разумеется, есть множества бОльшие, чем счетные, самое известное из них - множество всех чисел вообще. *Внимание! Весь этот фрагмент - не более чем костяк доказательства, см. предупреждение в начале лекции*
Предположим противное, т.е. нам удалось как-то пронумеровать все числа. Запишем их в столбик в виде бесконечных десятичных дробей:
2.68406...
7.09322...
6.77921...
..........
Возьмем первую цифру первого числа (т.е. 2) и увеличим ее на единицу. Получим число 3. Это будет первая цифра нашего нового числа. Возьмем вторую цифру _второго_ числа (0) и снова увеличим на 1. Наше новое число, таким образом, начинается с цифр 3.1 . Третья цифра третьего числа дает нам 3.18 и так далее.
Таким образом, мы построили новую бесконечную десятичную дробь (т.е. новое число). Оно не совпадает ни с первым из нашего списка (заведомо различается первой цифрой), ни со вторым (отличается второй цифрой) ни с каким угодно N-ым (отличается N-ой цифрой). Но мы предполагали, что пронумеровали все числа. Противоречие. Следовательно, пронумеровать все числа нельзя, их больше чем счетное число.

Используя этот прием ("Лестница Кантора") можно построить множество, большее, чем множество всех чисел ("континуум") и т.д., - "лестница мощностей" уходит в бесконечность.

Еще в конце XIX века у математиков возник вопрос: есть ли множества, "промежуточные" между счетным и континуумом? Ответ был найден спустя полвека. После этого ответа неприятности с неевклидовой геометрией показались игрой в песочнице :)
Предупреждаю: если во всем вышеизложенном я, можно сказать, вполне официально дипломированный специалист, и могу при необходимости детализировать и доказать с любой требуемой строгостью (другой вопрос, сколько времени это займет и можно ли сделать это в доступной форме), то в том, что пойдет дальше я - специалист не профильный. Так что не все смогу объяснить и, возможно, где-то и промахнусь (надеюсь, лишь по мелочам). И если, к примеру, Барк меня подстрахует и поправит - будет здорово.

Отвлечемся немного в сторону. Если у нас есть счетное множество объектов, то каждый из них мы можем "взять в руки" и пометить какой-нибудь краской:) Если у нас есть множество всех чисел, к примеру, мы можем сказать "пометим каждое из них краской" (или возведем в квадрат или еще что). С другой стороны, как-то это проделать будет уже затруднительно:) Поэтому математики довольно долго старались формально доказать, что для каждого множества "пометить каждый объект" (без пересчета - с ним-то все очевидно!) - возможно. А умение это было бы очень полезно (примеры в дальше). В конце концов, они поняли, что имеют дело с очередной аксиомой, утверждением, не связанным со всем предыдущим массивом аксиом и могущим быть верным или нет независимо от них, порождая различные теоремы в тех областях, которых эта аксиома касалась.
А, к примеру, то самое "промежуточное" между счетным и континуумом множество существовало, если аксиома верна и отсутствовало в противном случае.

А теперь внимание на экран:)
Если аксиома выбора верна, то возможно разрезать сферу (равно как и ломоть хлеба или рыбину) на несколько [естественно, больше чем счетное:)] количество частей, выбрать некоторые из них и после этого из выбранных сложить две сферы (рыбины) точно такого же размера, как и первая. Точь-в-точь как с натуральными числами - только теперь это будут рыбы с прежним (а в сумме - вдвое большим!) содержанием кальция, фосфора и прочих химикатов.
О аксиоме, постулирующей возможность перевода воды в вино мне пока ничего не известно:)))

09 Августа 2002 (20:24:15)

Обсудить эту лекцию вы можете здесь:

http://www.elhe.ru/cgi-bin/dekanat/YaBB.pl?board