Владимир.

Аксиоматика математики. Часть 1.

В конце я немного расскажу, как на это смотрит физика и прочие относительно прикладные науки, и их подход, думаю, будет вам куда более по душе. Ну что ж, недаром для занятий математикой требуется гибкость ума:)

То, что я напишу - моя собственная картина мира, выросшая во многом на базе мат. логики. Пару лет назад, помнится, на листе Worlds схлеснулись несколько таких картин и, в результате, благодарные слушатели охарактеризовали происходящее так: "А вы, ребята, не хуже древних философов не можете понять, где чьи ноги лежат" :) Расхождения, разумеется, касались лишь "морали", неформальных выводов из общих фактов (теорем). Теперь к существу вопроса.

Математический аппарат рассуждений - аристотелева логика ("если из А следует В и из В следует С, то из А следует С",...). Если, по какой-то причине, рассматривается область, где эта логика не работает то суждения переводятся в иную плоскость, где мы в состоянии работать в рамках аристотелевой логики.

Фундамент, на котором стоят все математические теоремы - теория множеств. Не в формальном смысле, а буквальном: есть три горошины, мы можем из них выбрать две (подмножество) или добавить еще одну и их станет 4 и так далее.

В качестве альтернативного и абсолютно равноценного базиса можно определить аксиоматику натуральных чисел (так называемые аксиомы Пеано), но по ряду историко-педагогических причин обычно выбирают горошины:) Аксиомы Пеано, замечу, штука ИМХО замечательная, приведу только две, чтобы вы поняли, почему о них в приличном обществе предпочитают не вспоминать (текст мой, на память и я их точно не помню):

1. Для любого натурального числа существует другое, называемое "следующим". Никакое "следующее от следующих" не будет тем "первым" числом из первого предложения. (Обратите внимание, речи о том, что существует хотя бы одно натуральное число пока не идет:)
2. Существует натуральное число, называемое единицей (1), которое не является следующим ни для одного другого. Далее в том же изящном и непринужденном стиле вводятся понятие сложения и умножения, после чего переходят к понятию числа целого:)

Почему так делают? Это принципиальный вопрос. Дело в том, что, в отличии от остальных областей знания, где к повторению чего-либо относятся как к фактору методологии и оценивают соответственно (где хорошо, где не очень) в вопросе аксиоматики повторы недопустимы. В самом деле, если мы повторяем что-то, то мы в состоянии вывести этот результат из других (или, о ужас, он будет им противоречить - и тогда всю систему аксиом надо относить на свалку) - т.е. перестанет быть аксиомой, став очередной теоремой. Поэтому аксиоматика, в первую очередь - проблема выбора полностью описывающего систему набора независимых утверждений (не, фигурально выражаясь, ортогонального, где никакая часть аксиомы не зависит от всех остальных - это весьма ценимое свойство, но не необходимое).

Обратите внимание, что всюду под "выводом" понимается именно процесс доказательства в терминах аристотилевой логики, и никакой другой. Это - клей, скрепляющий между собой различные утверждения. Если не будет его, эффект окажется не менее разрушительным чем от отсутствия базиса.

Большой соблазн сказать "не морочьте нам голову, вы что, хотите сказать, что с натуральными числами что-то неочевидно? Мы же их в первом классе проходили: вот 1, вот 2, вот 3!". Однако что вы будете делать, если я скажу "А я не верю! Я понимаю что 1+1=2, но я думаю, что есть число Х (большое, где-то около миллиона), такое что если прибавить его к единице, а потом прибавить еще один и вычесть то самое число Х, то мы получим не 2 а 36? Я пока этого числа не нашел, до него очень долго досчитать, но через пару лет обязательно покажу вам." Можно, конечно, отнестись к этому как к вечному двигателю: "принеси - поговорим", но сути дела это не меняет: нужны доводы, доказывающие, что такое невозможно. Простите, доказывающие исходя из _чего_? Вы недавно отказались от любых базовых аксиом "за очевидностью" - и оказались в логическом тупике. Можно потолкаться в нем, выведя натуральные числа из "примитивной теории множеств" - но вам придется принять на веру ее (как делается в большинстве учебников) или обосновывать ее чем-то новым (что возможно).

К счастью, приняв аксиоматику натуральных чисел и метод (аристотелеву логику) мы получаем всю математику в полном объеме, вопрос лишь в знании - как доказывать теоремы и какие дополнительные определения вводить. Непротиворечивость полученной конструкции гарантируется не принципом "мамой клянусь", а именно непротиворечивостью (существованием!) натуральных чисел как понятия.

Казалось бы, все хорошо, просто и понятно (только очень занудно): система аксиом - минимальный набор принимаемых на веру утверждений, из которых все выводится. Что тут странного/незнакомого? И в чем была проблема с неевклидовой геометрией, если все упирается в натуральные числа?

А вот что. Что будет, если мы откажемся принимать на веру какую-то из аксиом? И заменим ее, к примеру, противоположной? Предположим, что в жизни кот без улыбки - что-то немыслимое, а вот улыбка без кота - обычное дело? Чушь? Нет, не чушь.

Посмотрим на примере пресловутой неевклидовой геометрии. У нас есть набор аксиом и постулатов, разработанных Евклидом (в рамках излагаемого мной течения разница между этими терминами несущественна). Они отличаются от аксиом натуральных чисел - но (поверьте на слово, доказательство займет примерно полугодовой курс часов на 100 лекций) сводятся к ним. Однако привычно и естественно обсуждать проблему в ее "родных" терминах.

Одна из аксиом более-менее эквивалентна (не хочу вываливать на вас ненужные детали) такой: для каждой прямой и не лежащей на ней точки существует ровно одна прямая, проходящая через заданную точку и не пересекающаяся с заданной прямой. Так вот, что будет если мы заменим эту аксиому на другую, о том что таких прямых бесконечно много? Ответ: мы получим другую систему аксиом. Ни больше, ни меньше. Непротиворечивость новой системы без доказательства неочевидна (но если начальные аксиомы было ортогональны - то даже очевидна!), в нынешние времена ее попробуют свести к системе натуральных чисел (вы помните, что их непротиворечивость нами не доказывается а лишь принимается на веру?), в середине XIX века аппарат был не разработан и построили приведение к системе аксиом Евклида на специальной поверхности - что дало тот же эффект. На это для математика разговор заканчивается: система построена, непротиворечивость доказана, теоремы выведены. Можно заняться специальными исследованиями как отличаются теоремы в разных системах, пытаясь определить какие из них не опирались на измененную теорему и нельзя ли переформулировать аксиомы, построив нечто универсальное (введя параметр "кривизна пространства" в случае римановой геометрии), но это уже не более чем увлекательное узкоспециализированное занятие, как и любая другая наука:)

Математику принципиально безразлична дальнейшая, "научно-практическая" судьба системы аксиом. Она непротиворечива, она по возможности ортогональна, интересующие теоремы из нее выведены. Спасибо, все свободны:) И он, со своей колокольни, прав: вчера неевклидова геометрия описывала улыбки без котов, а сегодня обнаружили кривизну пространства а СТО потребовала кватернионов (это милая разновидность комплексных чисел, для которых a b не равно b a). Его ли это проблемы, что вам, практикам, не к чему приспособить его новую теорию?

С точки зрения практиков все тоже хорошо: если математик строит из себя идиота и что-то рассказывает на тему "я не уверен, что дважды два - четыре" - это его личные трудности, главное что по тем формулам что он приносит все прекрасно строится/плавает/летает.

Вот в двух словах и все, дальше, наверное, надо будет на вашу реакцию смотреть, что не ясно/интересно/…

07 Августа 2002 (19:03:20)

Продолжение здесь.

Обсудить эту лекцию вы можете здесь:

http://www.elhe.ru/cgi-bin/dekanat/YaBB.pl?board