Гимли.

Бесцельный трактат о математике. Вторая редакция. Часть 2.

Три задачи древних греков и теория Галуа.

Начало здесь.

Пионеры, комсомольцы,
Изучайте группы, кольца
Полиномы и поля,
И делители нуля.
(с) лозунг

Приветствия. Объявленная мной давным-давно (если точно - в день премьеры фильма) лекция была подрублена под корень моей ленью, занятостью и отсутствием вдохновения. Многие заработали значительную положительную карму, вежливо напоминая мне о моем обещании. Всем спасибо, преферанс на последней парте откладывается, продолжим нашу лекцию!
Разговор сегодня начнется с трех классических задач античности, уйдет от них в сторону, и вернется к ним в самом конце, где я их изящно и кратко не решу.
Напомню про построения циркулем и линейкой. Древним математикам абстракционизм был не свойствен (или наоборот, являлся нормой мышления). В любом случае, самые загадочные и мистические теории они считали напрямую исходящими из реальных наблюдений, поэтому набор инструментов для построений весьма прост.
У нас есть обычное трехмерное пространство, в котором проходят разные плоскости (мы их будем понимать как очень тонкие и неограниченно большие листы бумаги), и две фичи для рисунков на бумаге - линейка без делений, которой мы ничего не можем измерить, зато может провести прямую линию через две точки; и циркуль для рисования окружностей данного радиуса. Данный радиус, опять-таки, ни в чем не измерен, зато может быть выставлен по любому уже нарисованному отрезку (то есть части линии, ограниченной двумя точками). Линейка и циркуль считаются абсолютно точными, поэтому построения должны следовать строгой логике, а не приближенным расчетам (или не дай валар экспериментальным данным).
Прошу аудиторию оценить этот набор игрушек! Так начинается историческая математика - с приборов, которые отображают реальность, но в которых нет ничего от единиц измерения, точки зрения, привычных форм человека.
Так вот, три задачи - триссекция угла, удвоение куба, квадратура круга. С обычным ехидством отмечу, что есть еще и четвертая задача - построение правильного семиугольника с данной стороной. Увы, у нее недостаточно зловещее название и она решена неким Гауссом.
Триссекция - разделение на три равные части (насколько я знаю, почти в каждом школьном классе пара человек остается на перемене и честно пробует решить эту задачу до следующего звонка. Я точно помню, что я пробовал, и даже представил какое-то хитрое построение. Кто еще помнит такой эпизод в своей биографии?).
Удвоение куба - нужно построить куб, по объему вдвое превышающий данный.
Квадратура круга - построить квадрат, равный по площади данному кругу. Задачку про куб людям подкинул Аполлон, вместе с небольшой эпидемией чумы - мол, пройдет, когда решите (у меня зимний карантин всегда повышал успеваемость в школе... вероятно, логика такая же).
Остальные, кажется, придуманы более прозаическим способом перекладывания палочек и полосок на песке толпой греческих математиков (интересно, когда математика считалась необычным хобби, разгоняла ли городская стража философов, и арестовывали ли их за ношение деревянных мечей... то есть циркулей? Надо будет перечитать предка журналистов Аристофана).
Лукав Бьющий Издалека, и за эпидемию ему не спасибо - но все результаты, полученные математиками в процессе поисков решения античных задач, могут быть изданы только очень толстой книгой (такая же фенька вышла с Теоремой Ферма, но это отдельный разговор). Поскольку аудитории технические подробности не очень нужны, продолжу изложение в духе "идеология математики". Пока что есть цель рассказать - почему так долго не могли решить, и как надо было решать.
Если подходить к математике с исторической романтикой, то она больше похожа на дидактику и ораторское искусство, чем, например, на магию. Многие ее методы состоят из переписывания наборов утверждений с одного языка на другой. Можно думать об этом, как о составлении правил игры - пусть есть новая задача, новая ситуация. К набору малопонятных фактов придумывают терминологию, которая бы сделала бы задачу более краткой, и похожей на то, с чем мы умеем работать.
Классический лекторский анекдот - как физик кипятит воду для чая? - Заливает в чайник, ставит на огонь. - Как это делает математик? - Находит кипящий чайник, ждет пока остынет, выливает воду, зовет физика. Задача сведена к уже решенной.
Есть еще пара требований к этой новой терминологии - они все-таки делают ее слегка похожей на магию - желательно, чтобы свойства объектов подразумевались в их названии, и чтобы ложное высказывание было непроизносимо. О, захватывающий мир математической терминологии, совмещающий конкретность и обобщенность... служащий источником десятков хороших ругательств для первокурсников (" - милая, ты такая компактная! - А это как? - Замкнутая и ограниченная!"... или вот еще одностишие "а ты пойди установи гомоморфизм!"... или еще эпизод в истории терминологии - в моем теперешнем универе работали два иностранца с фамилиями, которые вместе составляли ругательство из трех слогов. Вот, например, есть неравенство Буняковского-Коши... а еще есть теорема этих двух... Гусары - молчать!).
Я отвлекся. Вернемся к нашей беседе. Познакомимся слегка с абстрактной алгеброй - разделом математики, который изучает множества из небольшого количества элементов с простыми операциями, их основную структуру и отношения между собой. Самый простой из примеров алгебры - школьная арифметика, с ее таблицей умножения и сложения. Все тамошние равенства вроде бы вполне верны, любопытные могут проверить на пальцах - но, не правда ли, хоть раз в жизни, хоть в каком-то контексте возникало желание сказать "2+2 = 5"; и, поделивши на 0, что-нибудь получить в ответе.
Абстрактная алгебра, она же высшая и единственная, начинается как раз с этого вопроса - насколько сильно можно извратить арифметические операции, чтобы полученный результат не противоречил сам себе и был применим для задач.
Начнем с одной операции - сложения (+). И не будем ее называть сложением, потому как я не обещаю, что два числа мы будем обязательно складывать. Может, вместо этого, мы поделим оба пополам, умножим одно на три, вычтем одно из другого, возьмем квадратный корень, а дробный остаток выкинем на помойку? Кто сказал, что это не операция? Более того, я не обещаю, что мы все это будем делать с числами - даешь операцию на множестве крокодилов! Мы изучаем структуру, а не частные примеры.
Чего мы вообще от этого плюсика хотим, чтобы он был хоть немного похож на плюсик? Для начала - когда мы складываем два числа, должен быть ровно один ответ, зависящий только от этих двух чисел, а не от погоды и других обстоятельств. Операция, в которой получение ответа неоднозначно, называется "плохо определенной". Пример плохо определенной операции - так называемое "бейсбольное сложение". Пусть в одном сезоне некая команда выиграла 2 игры из 5, в другом - 3 из 4, итого 5 из 9. Получается что-то вроде того, как дети пытаются складывать дроби в начальных классах: 2/5 + 3/4 = 5/9. Эта операция плохо определена, потому что с одной стороны 2/4+3/6 = 5/10 = 0.5, и одновременно 2/4 + 3/6 = 1/2 + 1/2 = 1, два разных ответа к одному примеру.
Хотелось бы также, чтобы ответом примера с двумя, скажем, числами было тоже число. Если может выйти число, а может чайная чашка, то возникает резонный вопрос - а как складывать число с чайной чашкой? Если вы готовы на него ответить - придумывайте правила, и идите дальше. А если в ответе получится болотный крокодил, то придумывайте правила о сложении чашек с крокодилами и крокодилов с числами. Когда перечислите все возможные ответы, и придумаете все правила для них - вы открыли свойство замкнутости - операция на некотором множестве должна иметь результат из того же множества.
Дальше, желательно, чтобы А + (В + С) = (А + В) + С. Ассоциативность называется. Она, вообще говоря, не обязательна, есть и такие операции, но давайте будем считать, что она есть, иначе, когда дойдем до вычитания, будет опаньки... берете 1+1 и отнимаете 1... и не получаете 1 в ответе, потому как (1+1)-1 может быть не равно 1 + (1-1) = 1 + 0 = 1.
Хотите чтобы А+В = В + А, то есть от перестановки мест слагаемых сумма не меняется? Это было бы очень мило, но не всегда правда в реальной жизни - повернуть ключ и толкнуть дверь и тоже самое в обратном порядке - разные вещи. Если, случайно, это правда, наша операция называется коммутативной, ну а нет - так нет.
Если есть сложение, то должно быть и вычитание - опять же, можно и без него, но будем считать что оно есть, иначе неясно, как решать уравнение А + 1 = 1... думаете 1 вычесть из обоих частей? А как, собственно, если еще нет вычитания? (Голос из зала - "прибавить по минус единице"). Вот, значит нужно изобрести две вещи - отрицательные (противоположные) числа и нолик. Отрицательные числа - чтобы можно было вместо вычитания прибавить противоположное число. Нолик - чтобы ничего не оставалось, когда прибавишь число к его противоположности. То есть - определяем 0 как такую фиговину, чтобы для любого крокодила А, А + 0 = А. Нолик должен ничего не менять, иначе он не нолик. Определяем "минус А" как такую фиговину, чтобы "минус А" + А = 0. Итак, если у нас есть операция на множестве объектов, которая одновременно замкнута, ассоциативна, определяет один из объектов как 0, и каждому объекту дает противоположный, мы только что изобрели простейшую алгебраическую структуру под названием группа.
Для развлечения - поиграйте с такой операцией... смотрим на циферблат часов - там 12 часовых делений. На этих делениях можно определить нечто вроде сложения - 3 часа + 2 часа прошло = 5 часов. Маленькая тонкость - циферблат круглый, 11 часов + 4 часа = 3 часа, 12 часов + еще 3 часа = 3 часа. Для тех, кто этого раньше не видел - наш ноль - это 12... более того, -5 = 7, -12=12, -1 = 11 и так далее. Для любопытных - эта операция называется "сложением по модулю 12", а группа ей образуемая "абелевской" (то есть коммутативной) и "аддитивной" (то есть с операцией, похожей на сложение, больше чем на умножение).
Или вот еще - Булевская группа, в которой всего два объекта "Правда" и "Ложь", а операций можно придумать много - "И", "ИЛИ", "И+НЕ" и так далее. Вообще, группы с конечным числом элементов проще и интереснее - у них больше свойств, которые можно раскусить.
Очень вкратце - в таком же духе идет игра по всей территории... если нужно две операции - как сложение и умножение - добавляют единичку (она же "нолик" или нейтральный элемент для умножения), и отдельное свойство - на ноль делить нельзя (или - в качестве исключения, нет объекта под названием "минус ноль для умножения"). Обещал рассказать, почему нельзя делить на ноль... можно, но как бы будете решать уравнения? Умножение и сложение должны быть соотнесены как-нибудь привычно, в ход идет дистрибутивность (А + В)С = АС + ВС. Если так, то решите
А(1-1) = 1... с одной стороны, по дистрибутивности, А(1-1) = А - А = 0, явно не равно 1, ответов нет. С другой стороны А0 = 1, если можно делить на ноль, то почему-то есть ответ . Система с делением на ноль противоречива.
Кстати, система с операциями "вроде умножения и сложения", и со всеми привычными для арифметики свойствами называется полем. Строчка из студенческой песни "раскинулось поле по модулю пять" слегка неточна. Поле по модулю пять раскидывается не очень далеко - в нем всего на 5 элементов.
Так же играют и с неравенствами, исключая "очевидные свойства", для достижения большей общности - например, пусть есть способ сравнивать числа, но он работает не для всех - объект может быть больше, меньше и "не сравним" с данным - я даю все эти примеры, чтобы был понятен общий дух - отвергаются "очевидные" свойства объектов, но сохраняются общие принципы, без которых объекты бы совсем не имели бы общих черт с уже изученными.
Например, для неравенств мы все равно хотим, чтобы А < B, B < C означало A < C.
Следующий шаг - установить связи, между разными наборами операция-множество. Самая простая - изоморфизм ("равенство формы", так вроде бы) - устанавливается, когда мы замечаем, что всем объектам в одной группе можно просто дать другие имена, и таблицы сложения\умножения двух групп станут идентичными... например - на циферблате вместо 12 цифр можно было бы написать 12 букв, и определить суммы как и раньше. Изоморфные группы не считаются разными, и одно из развлечений в алгебре - подсчитывать, сколько разных групп можно получить из n элементов. Результаты поначалу наводят на мысль о тщетности познания, настолько они неинтуитивны.
Если выполнить все требования для "сложения", то групп из одного элемента - 1. Из 2 - 1... вообще всего одна для простых чисел. Но зато из 4 - 2, 6 - 2, 8 - 6, а 10 - опять 2! Больше таблиц сложения нарисовать просто не выйдет.
Вот. Идею равенства структур мы определили, для философских рассуждений нам больше почти ничего не нужно - остались две идеи, связанные с многочленами, то есть с функциями одной переменной (пусть она называется x), типа ... и так далее, до максимальной степени.
Многочлен определен только в том случае, когда изобретены хорошее умножение и сложение ... тогда мы можем взять переменную, умножить ее на саму себя (возвести в степень), умножить на число и сложить с другими такими выражениями - получим комбинацию переменных в степени с коэффициентами. Есть фундаментальная теорема алгебры, частный случай которой доказывается лектором за 40 минут, а основной за еще одну, примерно такая:
Помните, у нас был элемент - нолик, вовсе не обязательно равный привычному нам числу ноль? значение переменной, которое делает многочлен равным нолику - корень многочлена. У многочлена nнной степени не может быть больше n корней. Очень хотелось бы, чтобы было ровно n... но не выйдет, например, в обычных числах, x2 + 1 - ни одного. Тем не менее, можно изобрести те или иные воображаемые дополнительные числа, и добавить их к множеству наших чисел так, чтобы у многочленов было ровно n корней, и полученное множество чисел бы сохраняло все свойства поля! Это очень важно - изобрести воображаемый объект можно как угодно, но тот факт, что воображаемые числа можно перемножать и складывать по обычным правилам показывает, что они такие же "настоящие", и что с их приходом в задаче не придется ничего менять - все результаты верны, как и прежде.
В очень общих чертах - характеристика того, насколько много новых чисел придется изобретать есть степень расширения поля. Вспомним лекцию про множества (мир ее праху). В ее контексте степень определяет, сколько еще множеств той же мощности нужно добавить в качестве воображаемых чисел.
Эта интерпретация не очень тривиальна, математикам ее надо еще слегка осознать (мне, по крайней мере, стоило труда ее придумать), но она правдива.
Ура! Мы готовы говорить про к задачи древности.
Точки на плоскости, а потом в пространстве определяются как элементы нашего обычного поля чисел (с привычными арифметическими операциями, евклидову систему координат помним?). Все почти хорошо, но путем построений мы может получить не все точки, а ... сейчас объясню…
Вернемся к циркулю и линейке. Зададим один отрезок, который будем считать равным единице. С его помощью мы можем на прямых отложить все целые числа. По стандартной школьной методике мы его может разделить на любое целое число частей. Сложив дроби с целыми числами, получим все дроби, или же все рациональные числа (от ratio - частное от деления двух целых чисел).
Все точки с такими координатами мы точно можем построить, и одновременно - все такие рациональные точки - корни многочленов с рациональными же коэффициентами. Чтобы получить все другие точки, поле точек надо расширить... мы уже намекали на то, как это сделать, потребовав, чтобы у всех многочленов были корни.
Чтобы построить любую точку на плоскости, ищем такой многочлен, которому она может быть корнем (например, иррациональное число "квадратный корень из двойки" получаем, расширяя по многочлену x2- 2), и применим обычную процедуру. Есть базовая теорема построимых точек - если точка получена с помощью циркуля и линейки, степень каждого такого расширения есть степень двойки - 2, 4, 8 и так далее.
Интуитивно, это понятно... мы пытаемся построить нужную точку, пересекая разнообразные треугольники и круги... откройте справочник формул, элементарная геометрия на плоскости - все формулы содержат переменные в 1, 2, 4 степени... не зря она, все-таки, двухмерная, наша плоскость.
Дальше все просто - удвоение куба требует построения кубического корня из данного числа или же расширения третьей степени, триссекция угла - третьей степени, квадратура круга - бесконечной степени! Аполлон, кстати, опять был прав - дал самую "простую" из трех задач, но от этого не менее невозможную.
На этом математику временно прервем, на вопросы можно будет ответить в дискуссии, и займемся немного историей. Античные задачи не могли быть решены древними греками - у них не было представления об абстрактной арифметической операции, зато были традиции записи, одновременно стимулирующие воображение и делающие обобщение невозможным.
Все что угодно формулировалось в виде свойства картинки на плоскости. С этим есть две трудности - невозможно записать, что такое многочлен - после третьей степени греку не хватает мерности пространства, произвольной величины n-мерность вообще не рисуется без представления о наборах чисел - координатах. Более того, греки всегда исходили из соображений, что все что угодно может быть построено (ну, математическая письменность у них была такая. Очень трудно придумать нечто, что невозможно записать), и потому всегда были настроены на ответ, противоположный правильному. Евклид, если я не ошибаюсь, говорил, что может решить задачу о кубе, но он был не прав.
Римляне и средневековые деятели тоже не могли решить эту задачку, поскольку математику развивали мало, и только в инженерно-административных целях.
Возрождение, просвещение - уже могли, но... не хотели? Терминологию алгебры надо было еще изобрести, а где мотивация к изобретению терминологии, если еще не очень ясно, к какой задаче ее применить? Лингвистика, господа - кто не может выговорить, тот не может придумать. Под алгеброй тогда, в основном, имели в виду разнообразные арифметические формулы, пропорции и остроумные методы решения уравнений ("остроумный" в данном случае означает "изобретенный специально для этой задачи, неприменимый нигде больше, и содержащий ошибку, которую найдут через 50 лет").
Начало алгебры лежит на краю геометрии - в некоторых задачках о вращениях фигур, которые иногда их переводят в другие фигуры, а иногда (например, при симметрии), ничего в них не меняют. Абстрактные операции, с конечным числом элементов - этого муза Алгебры, задолбавшаяся проверять собой Гармонию, ждала с начала времен. Собственно, теорию о расширении многочленных полей, которая за 15 лет наконец-то привела к решению наших задач, разработал некий Галуа. Самое важное - основные результаты алгебры многочленных полей + еще несколько теорем, он записал в сумбурном виде в ночь перед дуэлью. Пистолет выстрелил, математик проиграл. Можем выпить за Менделеевых, которые просыпаются. Но лучше помянем Эвариста Галуа, сироту 20 лет от роду, редкого умницу, диссидента, дуэлянта и математика.

14 Февраля 2002 (11:19:03)

25 августа 2004 - время второй (или третьей?) редакции.

Обсудить эту лекцию вы можете здесь:

http://www.elhe.ru/cgi-bin/dekanat/YaBB.pl?board