Гимли.

Бесцельный трактат о математике. Вторая редакция. Часть 1.

Континуум-гипотеза и парадоксы.

Иностранный посетитель: Скажите, а с какого класса в
советских школах используются компьютеры?
Директор школы: С первого.
Учительница: Дети! На подоконнике стоит шесть компьютеров.
Лена взяла два компьютера. Сколько компьютеров
осталось на подоконнике?
(с) анекдот

Сначала - несколько более подробные замечания по поводу той задачи, с которой начался разговор в первоначальной редакции - континуум-гипотезе. Давайте разберемся, в чем там дело. Задачка примерно такая.
Наборы самых разных предметов и объектов называются множествами. Главное и определяющее свойство множества - какие элементы в него входят. Одна из характеристик множества - количество входящих в него объектов. То множество, в котором элементов больше, считается большим. Очевидно, если вынуть из множества несколько предметов, то оно станет меньше.
Вот только... станет ли? Что делать, если множество бесконечно? Например, из множества всех натуральных чисел (0,1,2 и так далее) можно вынуть каждое второе (0,2,4...) и останется все равно бесконечное число чисел. Если в двух множествах число элементов одинаковое, то они считаются равными по размеру. Множество, в котором бесконечное число элементов, явно больше любого конечного. Но что делать, если оба множества бесконечны? Как сравнивать их размер? Нужен новый способ сравнения. Из соображений хорошего тона (то есть чтобы не сойти с ума, называя разные вещи одинаковыми именами), способ должен работать и для конечных множеств.
Представьте себе подсчет яблок в двух корзинах - вынимаем яблоки парами из корзины, пока хотя бы одна из них не будет пустой- если в другой есть остаток, то количество - разное, если каждому яблоку нашлась пара - то одинаковое. Если в корзине А каждому яблоку нашлась пара из Б, а в корзине Б - нет, то число яблок в корзине А больше. Берем два множества, и соединяем все элементы в пары. Если удается доказать, что все элементы расписаны по парам, и остатка нет - мощности ("количество элементов") множеств равны.
Континуум-гипотеза - попытка упростить две разные вещи, доказанные по этому поводу. Первая - есть бесконечное число неравных бесконечных мощностей, то есть какое-то множество, которое "больше" самого первого бесконечного множества - множества нумерации (или множества натуральных чисел). Прежде чем пойдем дальше - байка на тему.
Для проведения съездов математиков всех миров была когда-то построена гостиница с бесконечным числом комнат. Поскольку на комнатах стояли цифры номеров, то бесконечность эта была счетная (то есть равная бесконечности натуральных чисел). И вышло так, что все комнаты были заняты, когда приехал еще один, самый важный математик. Поиск места для него прошел так: каждого обитателя комнаты с номером Н попросили переехать в комнату с номером Н+1. Гостиница была бесконечной, так что места все равно хватила всем, а вот первый номер освободился. Думайте об этом как о тех же корзинах с яблоками... только что мы объединили Нную и Н+1ую комнату в пары, и всем комнатам нашлась пара, так что ... бесконечность = бесконечность плюс один, и место есть на всех.
На следующий день в гостиницу приехало счетное бесконечное число математиков. И что же? Место нашлось и для них. В этот раз каждого гостя из комнаты Н попросили переехать в комнату 2*Н - освободилось бесконечное число мест (все нечетные номера). Вопрос - есть ли такое число, которое не уместиться в нашей бесконечной гостинице?
Как раз наше второе утверждение говорит что есть. Множество натуральных чисел, при всей своей бесконечности, все-таки меньше множества всех чисел на числовой прямой. Возьмем даже малую их часть - все числа между 0 и 1. Как уже говорилось, обозначим эти числа бесконечными десятичными дробями, например 0.3333.... , 0.5000.... с той поправкой что 0.999999.....=1.00000 (причины этого обсуждались - вкратце напомню, что между 0.999... и 1.000 нет никаких других чисел, следовательно их можно считать равными без нарушения стройности теории).
Если бы множество этих чисел было того же или меньшенго размера, что и множество натуральных чисел, их бы удалось пронумеровать - то есть распихать по номерам нашей счетной бесконечной гостиницы. Тем не менее - как бы мы это не сделали, всегда можно написать число, которому не досталось номера. Как это сделать - берем число, которому достался номер 1. Смотрим, что у него в первой позиции после запятой... пусть там 3. Пишем все что угодно, только не 3. Берем число, которому достался номер 2. Смотрим что у него во второй позиции... пишем любое другое число... повторяем бесконечное число раз - получается число, которое хоть в одной позиции отлично от всех чисел с номерами... значит, это число без номера, и мы нашли бесконечность большего размера.
Уфф. Итак, мы знаем, что есть множество, которое больше множества нумерации... и что множество всех чисел на прямой больше множества нумерации. Естественный вопрос - не говорят ли эти утверждения об одном и том же. Континуум-гипотеза: да.
В самом общем смысле, математика - наука точная, и ей не грозят реформы и переписывания при появлении новой идеологии или художественного вкуса. Истинность математических утверждений не зависит от точки зрения... в большинстве случаев. Когда при помощи математических методов описывают какое-нибудь простое физическое явление - движение тела в пространстве, изменение температуры в химической реакции, количество голов хищников в заповеднике, вопль "не верю" звучит довольно редко. Само явление - наличие тела и его движение, какое-то изменение температуры, факт существования заповедника и хищников в нем - сомнению никто не подвергает. При анализе расчетов можно внести поправки в вычисления, в крайнем случае - исправить ошибки в самом методе.
Когда же речь идет о теоретической математике, где все объекты либо вовсе придуманы математиками, либо являются смелым обобщением очень широкого класса объектов и явлений, первые строки математической работы можно отвергнуть как "ложные", "бессмысленные" или "непонятные". Из-за этого все определения даются очень осторожно и консервативно - то есть без смелых выводов и с полным недоверием к собственной интуиции.
Пример подрывной деятельности: Парадокс Рассела. Согласно аксиоме выбора, множество можно задать любым правилом. Если правило будет слишком жестким (например - "входят все шары квадратной формы и больше ничего"), то множество просто окажется пустым - все нормально, пустое множество тоже множество. Набираем полную грудь воздуха и определяем наше множество Рассела как множество всех множеств, которые не входят сами в себя. Пример для хоббитов. Множество всех ложек - это не ложка, значит, множество не является своим же элементом. Пример для драконов. Множество всех сокровищ - большая такая груда - тоже сокровище, и значит входит само в себя. Теперь вопрос - входит ли множество Рассела само в себя? Если не входит, то должно входить, по своему определению. Если входит, то противоречит определению, и не должно входить. Как это оно так, одновременно... опаньки.
(Интерпретация для гуманитариев. Слово "существительное" верно описывает само себя. Слово "глагол" - не глагол, поэтому не описывает. Описывает ли само себя слово "неописуемый"?).
О, кстати - придумал средневековое определение парадокса Рассела. По милости короля Артура, доблестный рыцарь Кай объявляет своими вассалами всех тех, и только тех, кто не является вассалом самим себе. Является ли Кай своим вассалом? Неужто вы сомневаетесь в милости короля? Парадокс Рассела отвергается (или, с определенной точки зрения, разрешается) теорией категорий, в которой не позволяется делать множества элементами самих себя, и вместо этого предлагается некая вассальная лестница, при которой множества могут входить, как элементы, только в множества уровнем выше.
Континуум-гипотеза - вещь слегка более солидная, чем парадокс Рассела, в ней нет явного издевательства над принятой терминологией. Тем не менее, как уже замечалась, результат работы над ней - такой же хулиганский... ее можно принять, можно отвергнуть, и ни в каком из случаев не возникнет противоречий. Никогда. Работавший над формальным анализом всего этого безобразия математик Годель доказал нечто более фундаментальное - в любом достаточно сложном наборе определений и аксиом, будут утверждения, которые из этих аксиом не следуют, и ими не опровергаются.
(Для гуманитариев. Предположим, собранием музыкальных критиков написан список правил, по которым произведения можно разделить на "современные" и "классические". Если этот список правил будет хоть немного более сложен, чем простое перечисление всех авторов и всех размеров, то можно будет написать вещь, которая будет одновременно "современной" и "классической" и еще одну, которая не будет проходить ни по одной из двух категорий.)

Мораль к истории можно выбирать в зависимости от настроения. Вот два основых несколько варианта:
Основы математики логически противоречивы и могут не иметь никакого отношения к реальности (не совсем верно, но пойдет в качестве трепа под пиво после сессии).
Недостаточно хорошо изученные правила рассуждений позволяют слишком вольные упражнения с абстрактными понятиями. Терминологию математики имеет смысл переработать, чтобы парадоксы нельзя было даже сформулировать (верно, принято как противоядие к парадоксу Рассела. Пойдет под пиво в компании математиков 19 века).

18 Декабря 2001 (05:04:20)
25 Августа, 2003 - 2я редакция

Продолжение здесь.

Обсудить эту лекцию вы можете здесь:

http://www.elhe.ru/cgi-bin/dekanat/YaBB.pl?board